Matemática

Três sócios – Ari, Bia e Caio – criaram uma empresa. Bia entrou com um capital igual ao dobro do de Ari, e Caio, com um capital 50% superior ao de Bia.

Considere os pontos A(3, 2) e B(6, –1) do plano cartesiano. Seja P um ponto do eixo das abscissas tal que a reta AP seja perpendicular à reta BP.

Seja a matriz cujo determinante é igual a 8.

Uma empresa vende regularmente um produto com uma demanda mensal constante a um certo preço por unidade.

A equação polinomial 2x³ – 3x² – 11x + 6 = 0 tem o conjunto solução S = {a, b, c}.

Um estacionamento para automóveis aluga vagas para carros mediante o preço de x reais por dia de estacionamento. O número y de carros que com parecem por dia para estacionar relaciona-se com o preço x de acordo com a equação 0,5x + y = 120.
O custo por dia de funcionamento do estacionamento é R$ 1150,00 independentemente do número de carros que estacionam.

O Twitter é uma rede social e um microblog que habilita seus usuários a publicarem mensagens curtas (tweets) de, no máximo, 140 caracteres, e também permite a publicação de fotos e vídeos.
Ao final do ano de 2013, o Twitter atingiu a marca de 241 milhões de usuários ativos e, ao final de 2014, o Twitter já contava com 288 milhões de usuários ativos.

O Twitter é uma rede social e um microblog que habilita seus usuários a publicarem mensagens curtas (tweets) de, no máximo, 140 caracteres, e também permite a publicação de fotos e vídeos.
Ao final do ano de 2013, o Twitter atingiu a marca de 241 milhões de usuários ativos e, ao final de 2014, o Twitter já contava com 288 milhões de usuários ativos.

Você certamente não percebeu, mas a Lua está se afastando de nós. O satélite da Terra está atualmente 18 vezes mais longe do que quando se formou, há 4,5 bilhões de anos, e vem se afastando de nosso planeta a uma velocidade de 3,78 centímetros por ano.

Uma indústria de alimentos produz um salgadinho à base de milho em formato de um triângulo equilátero com 15 cm de perímetro. Desejando ampliar suas vendas, ela lançou um novo salgadinho com o mesmo formato, mas com área 20% maior do que a original.

O esquema apresenta as relações que certos quadriláteros notáveis possuem e que estão baseadas em algumas de suas propriedades, representadas pelos números 1 e 2.
A propriedade 1 é compartilhada somente pelos retângulos e quadrados e não é compartilhada pelos losangos; a propriedade 2 é compartilhada somente pelos losangos e quadrados e não é compartilhada pelos retângulos.

A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é

A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = – x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (–3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,

No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4/3 do volume da pirâmide SEFGH é

No sistema linear

, nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:

Sabe-se que existem números reais A e x₀, sendo A > 0, tais que

sen x + 2 cos x = A cos(x – x₀)

para todo x real. O valor de A é igual a

Dadas as sequências an = n² + 4n + 4, bn = 2ⁿ² , cn = a_{n + 1} – a_n e d_n = b_{n + 1}/ b_n , definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:

I. a_n é uma progresslo geométrica;
II. b_n é uma progressão geométrica;
III. c_n é uma progressão aritmética;
IV. d_n é uma progressão geométrica.

De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

Examine o gráfico.

A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é

Certo método de observação da troca de potássio no fluxo sanguíneo utiliza o isótopo do potássio K³² como marcador. Sabe-se que esse isótopo perde 5,4% de sua intensidade radioativa a cada hora.

O gráfico indica a proporção de óbitos por malária no Brasil de 2000 até 2011, devido a duas espécies do parasita Plasmodium.

Um investidor possui uma carteira com ações de cinco empresas: A, B, C, D e E. Em determinado dia, o gráfico abaixo apresentou o valor (em reais) das ações de cada empresa, como porcentagem do valor total (em reais) da carteira:

Em um estudo controlado de uma nova medicação contra dor, pesquisadores acompanharam um grupo de pessoas submetidas à administração desse medicamento durante alguns dias. A cada novo dia de tratamento, as pessoas tinham que atribuir um número inteiro, de 1 a 10, para o nível de dor que sentiam (1 significando “dor desprezível” e 10 significando “dor insuportável”). A tabela indica a média dos resultados da pesquisa nos primeiros dias, já sugerindo uma modelagem matemática para o estudo.

Observe o diagrama com 5 organizações intergovernamentais de integração sul-americana:

Atualmente existem estudos que utilizam geometria fractal na investigação da forma de células cancerígenas. Um desses estudos parte de uma célula hexagonal regular de lado 1 e sugere o seguinte modelo:

Considere que a célula 1 circunscreva a 2, como mostra a figura a seguir.

Sendo x, y e z números reais tais queo valor dea

Uma pesquisa sobre a altura de um grupo de homens apresentou os seguintes dados:

Se é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9^x – 9^x–1 = 1944,

Um cilindro circular reto de raio da base 10 cm foi reduzido à forma indicada na figura, sendo que A, B, C, D, E e F são pontos pertencentes à superfície do cilindro original, e F é o centro de uma das bases do cilindro. Sabe-se, ainda, que o plano que contém os pontos A, B, C e D é perpendicular às bases do cilindro original, e que o plano que contém os pontos B, C e E é paralelo às bases do cilindro original.

Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7ª, 14ª, 21ª, 28ª e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum.

Uma caixa de suco de manga tem o formato de um bloco retangular com base quadrada de lado 0,7 dm. O suco contido nela é feito com a polpa de quatro mangas. Sabe-se que a polpa obtida de cada manga rende 0,245 litros de suco.

(BiII Watcrson. Calvin e Haroldo. http://tinyurl.com/lwnyz8. Acesso em: 25.07.2014.)

• Libra e onça, bem como quilograma, são unidades de medida de massa.
• A relação lida por Calvin no 1º quadrinho está correta.
• 1,0 kg é aproximadamente igual a 2,2 libras.

Um jogo de seis cartas possui três pares de cartas idênticas. Sabe-se que as seis cartas, juntas, possuem 10 círculos, 6 triângulos e nenhuma outra marcação.
Em certo momento do jogo, três das seis cartas estão viradas para cima, com as figuras visíveis, e três estão viradas para baixo, conforme ilustrado a seguir.

O gráfico representa a função f.

Uma caixa de suco de manga tem o formato de um bloco retangular com base quadrada de lado 0,7 dm. O suco contido nela é feito com a polpa de quatro mangas. Sabe-se que a polpa obtida de cada manga rende 0,245 litros de suco.

(BiII Watcrson. Calvin e Haroldo. http://tinyurl.com/lwnyz8. Acesso em: 25.07.2014.)

• Libra e onça, bem como quilograma, são unidades de medida de massa.
• A relação lida por Calvin no 1º quadrinho está correta.
• 1,0 kg é aproximadamente igual a 2,2 libras.

O gráfico indica uma reta r, que intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, n).

As coordenadas (x, y) de cada ponto do segmento AB, descrito na figura, representam o comprimento (x) e a largura (y) de um retângulo, ambos em centímetros. Por exemplo, o ponto de coordenadas (4, 18) representa um retângulo de comprimento 4 cm e largura 18 cm.

Leia a notícia.
“O número de deslocamentos de pessoas entre cidades paulistas dobrou em uma década, enquanto o crescimento populacional foi de 1 % ao ano. A pesquisa obtida pelo Estado considera viagens feitas por maiores de 15 anos na macrometrópole paulista – 173 municípios entre a Baixada Santista e o Vale do Paraíba, passando por São Paulo, Campinas e São José dos Campos.”

Uma seleção de futebol convocou 23 jogadores, sendo 2 para cada uma das 10 posições de linha, e 3 para o gol.
Um dos jogadores de linha convocado pode jogar em duas posições de linha diferentes (a posição para a qual foi convocado e mais uma outra posição), e todos os demais convocados jogam apenas em sua respectiva posição de convocação, incluindo-se os goleiros.

O voto válido é aquele destinado diretamente a um candidato ou a um partido político. Votos nulos e brancos não são considerados votos válidos. Para que um candidato conquiste a eleição em 1º turno, ele deve conquistar mais de 50% dos votos válidos.
A eleição ao governo de um estado foi realizada entre apenas quatro candidatos (A, B, C e D). O resultado final dos votos destinados a esses candidatos no 1º turno está na tabela:

Uma prova de múltipla escolha com 63 questões atribui 5 pontos a cada questão correta, e anula uma questão correta a cada 5 questões erradas.

Uma pesquisa recente do Banco Central do Brasil apontou que a cada 10 moedas que um brasileiro recebe, ele guarda exatamente 4 moedas e põe em circulação as outras 6.
Suponha que um brasileiro tem o comportamento indicado pela pesquisa e:

• recebeu 10 moedas nos valores de R$ 1,00, R$ 0,50 e R$ 0,25, totalizando R$ 5,00;
• gastou um total de R$ 2,00, utilizando apenas moedas de R$ 0,50 e R$ 0,25.

Conforme indica a figura, uma caixa contém 6 letras F azuis e 5 brancas, a outra contém 4 letras G azuis e 7 brancas, e a última caixa contém 6 letras V azuis e 6 brancas.

Um código numérico tem a forma ABC-DEF-GHIJ, sendo que cada letra representa um algarismo diferente. Em cada uma das três partes do código, os algarismos estão em ordem decrescente, ou seja, A>B>C, D>E>F e G>H>I>J. Sabe-se ainda que D, E e F são números pares consecutivos, e que G, H, I e J são números ímpares consecutivos. Se A+B+C=17,

A figura representa um triângulo ABC, com E e D sendo pontos sobre — AC. Sabe-se ainda que AB = AD, CB = CE e que E^ BD mede 39°.

No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x² e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a

Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente.

A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica 0,444... e o decimal de representação finita

Um dispositivo fará com que uma lâmpada acesa se desloque verticalmente em relação ao solo em x centímetros. Quando a lâmpada se desloca, o comprimento y, em cm, da sombra de um lápis, projetada no solo, também deverá variar.

Sueli colocou 40 mL de café em uma xícara vazia de 80 mL, e 40 mL de leite em outra xícara vazia de mesmo tamanho. Em seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira xícara para a segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do novo conteúdo da segunda xícara de volta para a primeira.

Uma editora tem preços promocionais de venda de um livro para escolas. A tabela de preços é:

onde n é a quantidade encomendada de livros, e P(n) o preço total dos n exemplares.

Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos: A(0,100), B(0, -100), C(10, 100), D(10, -100), E(100, 0). Se a reta de equação reduzida y = mx + n é tal que mn > 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente,

Seja f:IR →IR, tal que  com b sendo uma constante real positiva. 

Um envelope lacrado contém um cartão marcado com um único dígito. A respeito desse dígito são feitas quatro afirmações, das quais apenas três são verdadeiras. As afirmações são:

I. O dígito é 1.
II. O dígito não é 2.
III. O dígito é 3.
IV. O dígito não é 4.

Na figura, ABCD representa uma placa em forma de trapézio isósceles de ângulo da base medindo 60°. A placa está fixada em uma parede por AD, e PA representa uma corda perfeitamente esticada, inicialmente perpendicular à parede.

Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma delas tem raio da base 4 cm. A outra, é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5 cm. O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$ 2,00. A embalagem maior dá um desconto, por mL de ervilha, de 10% em relação ao preço por mL de ervilha da embalagem menor.

O total de números pares não negativos de até quatro algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2 e 3,

Os elementos da matriz A = (a_ij) _3x3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país. A respeito desses voos, sabe- -se que:
quando j = 2, o número de voos é sempre o mesmo,
quando i = j, o número de voos é sempre o mesmo,
quando i = 3, o número de voos é sempre o mesmo;
a11 ≠ 0, e det A = 0.

Em uma sala estão presentes n pessoas, com n>3. Pelo menos uma pessoa da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas.

Se x² – x – 1 é um dos fatores da fatoração de mx³ + nx² + 1,

Considere o polinômio P(X) tal que

A seta indica um heptágono com AB=GF=2AG=4BC=4FE=20 cm.

Se 1 + cos α + cos² α + cos³ α + cos⁴ α + ... = 5, com

Os polígonos ABC e DEFG estão desenhados em uma malha formada por quadrados. Suas áreas são iguais a S₁ e S₂, respectivamente, conforme indica a figura.

Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos preços.

Quando os meteorologistas dizem que a precipitação da chuva foi de 1 mm, significa que houve uma precipitação suficiente para que a coluna de água contida em um recipiente que não se afunila como, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse 1 mm. Essa precipitação, se ocorrida sobre uma área de 1 m², corresponde a 1 litro de água.
O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai perpendicularmente à superfície retangular plana e horizontal da laje de uma casa, com medidas 8 m por 10 m. Nesse sistema, o tanque usado para armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de paralelepípedo reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura.

A figura indica um mecanismo com quatro engrenagens (A, B, C e D), sendo que o eixo da engrenagem D é diretamente responsável por girar o ponteiro dos minutos do mostrador de um relógio convencional de dois ponteiros (horas e minutos). Isso quer dizer que um giro completo do eixo da engrenagem D implica um giro completo do ponteiro dos minutos no mostrador do relógio.

Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros, são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura 2).

A tabela indica o gasto de água, em m³ por minuto, de uma torneira (aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro.

As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectivamente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas, ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira letra retirada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a terceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta volta a ser da urna 2, e assim sucessivamente.

A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos. A e B.

Uma compra no valor de 1.000 reais será paga com uma entrada de 600 reais e uma mensalidade de 420 reais.

O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é igual a

Se (a₁, a₂, …, a₁₃) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então a₇ é igual a

Considere a matriz A = onde a e b são números reais.

Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z

onde m é um número real. Sejam a < b < c números inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse sistema.

A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y = f(x).

Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas y = x² + 2x + 2 e y = 2x² + ax + 3.

No plano cartesiano, a equação │x – y│ = │x + y│ representa

A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro quadrados.

A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.

Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio

Considere o polinômio p(x) = x³ – x²+ ax – a, onde a é um número real.

Sejam x e y números reais tais que x + yi = √ 3 + 4i , onde i é a unidade imaginária.

Um apostador ganhou um prêmio R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor em caderneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 72.000,00, a parte da quantia a ser aplicada na poupança deve ser de, no máximo,

Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a

O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações:
I. x é irracional.
II. x ≥ 10 / 3
III. x . 10^2.000.000 é um inteiro par.
Então,

Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Uma jarra de limonada contém 500 g de suco puro de limão, 500 g de açúcar e 2 kg de água. Sabe-se que:
25 g de suco puro de limão contêm 100 calorias;
100 g de açúcar contêm 386 calorias;
água não contém calorias.

Sobre a equação (x + 3)2^{x2 – 9} logx² + x – 1 = 0, é correto afirmar que

Um cubo de 1 m de aresta foi subdividido em cubos menores de 1 mm de aresta, sem que houvesse perdas ou sobras de material.

O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

A soma dos algarismos do resultado da expressão numérica

Cada uma das cinco listas dadas é a relação de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas é maior do que a mediana.

O número natural representado por x possui todos os algarismos iguais a 2, e o número natural representado por y possui todos os algarismos iguais a 1. Sabe-se que x possui 2n algarismos, e que y possui n algarismos, com n sendo um inteiro positivo.

Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

Sejam a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇ e a₈ elementos distintos do conjunto {–7, –5, –3, –2, 2, 4, 6, 13}. Nessas condições, o menor valor possível da expressão

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é