Matemática

Se ?(?) = log₁₀(?) e ? > 0, então ?(1/?) + ?(100?) é igual a

Considere que os ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética. Dado que a, b, c são as medidas dos lados do triângulo, sendo a < b < c, é correto afirmar que

No livro Sapiens: A brief history of humankind, do autor Yuval Noah Harari, há o seguinte trecho:

Like it or not, we are members of a large and particularly noisy family called the great apes. Our closest living relatives include chimpanzees, gorillas and orangutans. The chimpanzees are the closest. Just 6 million years ago, a single female ape had two daughters. One became the ancestor of all chimpanzees, the other is our own grandmother.

A figura abaixo exibe um quadrado ABCD em que M é o ponto médio do lado CD.

Para a identificação do câncer de próstata utiliza-se, além do exame digital, o exame de sangue PSA (antígeno prostático específico), que é um procedimento básico para início do rastreamento. No entanto, o PSA é um biomarcador imperfeito, pois pode levar a falsos diagnósticos e excesso de tratamento cirúrgico.

Considere a, b, c, d termos consecutivos de uma progressão aritmética de números reais com razão r ≠ 0. Denote por D o determinante da matriz

Quando a velocidade de um avião aumenta, o deslocamento das moléculas da atmosfera provoca um aumento da chamada pressão dinâmica (P_d) sobre o avião. Se a altitude de voo é mantida constante, a pressão dinâmica, dada em Pa, pode ser calculada por P_d = k · v², sendo v o módulo da velocidade do avião em relação ao ar, em m/s, e k uma constante positiva, que depende da altitude.

Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, –3x + 1, nesta ordem.

Segundo dados da Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel), até o final de 2019 havia no Brasil um total aproximado de 171 mil sistemas de energia solar instalados, o que corresponde a apenas 0,2% das unidades consumidoras do país. Desse total, 5/9 correspondem aos sistemas instalados apenas no ano de 2019.

No plano cartesiano, considere a reta de equação x + 2y = 4, sendo A, B os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados. A equação da reta mediatriz do segmento de reta AB é dada por

O indicador de direção do vento, também conhecido como biruta, é item obrigatório em todo heliponto. Suas dimensões devem estar em conformidade com a figura e com a tabela apresentadas na sequência, retiradas do Regulamento Brasileiro da Aviação Civil.

No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml (500 cm³) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm.

Segundo estudos, há uma grande coincidência geográfica entre municípios da Amazônia ao analisarmos os municípios mais afetados pelos processos de desmatamento e pelos conflitos rurais. O gráfico mostra a correlação entre o percentual da área total desmatada de cada município e a taxa de homicídio para cada 100 mil habitantes do município. Cada município é representado por um ponto.

Nesse gráfico, o traço azul representa a linha de tendência que relaciona o percentual (P) da área total desmatada e a taxa de homicídio (h) do município, o que pode ser descrito pela expressão:

Indicadores têm mostrado uma evolução da participação feminina na autoria de publicações científicas.
Um levantamento de autores de diferentes países cujos artigos foram publicados em periódicos de uma plataforma obteve a proporção de mulheres para cada homem entre os autores em atividade, para dois intervalos de tempo, o que gerou o gráfico:

FUVEST 2021: São dados os pontos no plano cartesiano P1 = (3; 3), P2 = (5; 1), P3 = (3; −1) e P4 = (−2; 5).

Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade.
Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F , no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

O perímetro de uma figura plana é o comprimento de seu contorno. O diâmetro de uma figura plana é a maior distância entre dois pontos do contorno dessa figura. Calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro em cada uma das figuras planas nos casos a seguir:

Para fazer uma receita culinária são utilizados apenas os ingredientes A e B. Cada 100 g do ingrediente A custa R$ 4,00 e cada 100 g do ingrediente B custa R$ 8,00. Usando a proporção correta dos ingredientes, um cozinheiro utilizou um total de 1 kg de ingredientes para fazer essa receita, ao custo de R$ 56,00.

A figura indica um quadro retangular FAME que contém o brasão da FAMERP, também em um retângulo. A moldura preta do quadro possui largura constante de x centímetros e ocupa 20% da área total de FAME.

A facilidade com que uma doença se espalha é medida usando o “número de reprodução”, R₀, isto é, o número médio de pessoas que contraem a doença a partir de uma mesma pessoa infectada. O R₀ para a covid-19 é estimado entre 2 e 3. A gripe comum, em comparação, tem um R0 de 1,3, enquanto o sarampo, que é muito mais contagioso, tem um R₀ de 18. O valor de R₀ permite calcular a porcentagem mínima de indivíduos imunizados (por terem contraído a doença ou estarem vacinados) necessária para proteger toda a população. Essa condição, conhecida como limiar de imunidade de rebanho, é calculada por

A figura indica cinco retas, dois pares de ângulos congruentes, dois pontos nas intersecções de três retas e um ponto na intersecção de duas retas.

A figura indica uma configuração retangular feita com palitos idênticos.

Uma formiga desloca-se sobre uma malha quadriculada com eixos cartesianos ortogonais. Ela parte do ponto de coordenadas (0, 0) e segue um caminho conforme o padrão indicado na figura.

Atualmente, o preço de uma mercadoria é 20% superior ao que era há um ano. Sabe-se também que o preço atual é 10% superior ao preço da mercadoria na época em que ela custava R$ 100,00 a menos do que hoje.

Uma amostra de cinco número inteiros não negativos, que pode apresentar números repetidos, possui média igual a 10 e mediana igual a 12.

Uma urna contém 2/3 de bolas brancas e 1/3 de bolas pretas, sendo que somente metade das bolas brancas e 2/3 das bolas pretas contêm um prêmio em seu interior. Uma bola dessa urna é sorteada aleatoriamente e, quando aberta, verifica-se que tem um prêmio no seu interior.

Na figura, FECO é um trapézio isósceles, com FE = OC = 5 cm, EC = 4 cm e FO = 10 cm, e FGV é um triângulo retângulo com ângulo reto em V, com C em FG e O em FV.

Uma moeda não honesta tem probabilidade igual a 2/3 de sair cara, contra 1/3 de sair coroa. Lançando-se essa moeda 20 vezes,

Considere a equação 10z² – 2iz – k = 0, em que z é um número complexo e i² = –1.

Um polígono regular de x lados está perfeitamente cercado por polígonos regulares idênticos de y lados, sem sobreposições ou espaços livres. Por exemplo, a figura mostra a situação descrita para o caso em que x = 4 e y = 8.

Para que o preço atual de um produto ficasse igual ao preço dele 5 anos atrás, seria necessário dar um desconto de 60%. Sabendo-se que a média entre o preço atual desse produto e o preço praticado há 5 anos é igual a R$ 168,00,

Com a finalidade de fazer uma reserva financeira para usar daqui a 10 anos, Luís planejou o seguinte investimento: depositar no mês 1 a quantia de R$ 500,00 e, em cada mês subsequente, depositar uma quantia 0,4% superior ao depósito do mês anterior, em uma aplicação financeira que rende 0,5% ao mês, capitalizado mensalmente.

Em certo dia, a cotação da libra esterlina em Nova Iorque era de 1,25 dólar americano por 1,00 libra, e a cotação de 1,00 dólar americano era de 4,10 reais. Nesse mesmo dia, em Londres, 1,00 libra era cotada a 5,09 reais e 1 dólar americano era cotado a 4,15 reais. Bianca e Carolina compraram, nesse mesmo dia, 415 libras cada uma.

ABCD e A'B'C'D' são faces de dois paralelepípedos retoretangulares que estão encostados de forma que duas arestas do menor estão totalmente contidas em duas arestas do maior, como mostra a figura.Além das medidas indicadas na figura, sabe-se que:
• P e Q pertencem a CD e A’B’, respectivamente;
• PQ é perpendicular a A’B’;
• RCB’C’ e RPQC’ são retângulos.

A figura indica um cone reto de revolução de vértice V, altura VC e diâmetro da base AB. O ponto M pertence à geratriz VP do cone, AMB é um triângulo de área igual a 3√3 cm², VC = BM, CM = CA = CB = MV = MP e o ângulo A ^{^} MB é reto.

Sendo k um número real, o conjunto de todos os valores reais de k para os quais o sistema de equações

A figura indica os gráficos das funções reais definidas por y = –1 + 2cos (2x) e y + 1 + √3 = 0 no plano cartesiano de eixos ortogonais, sendo P um dos pontos de intersecção dos gráficos.

O valor máximo da função real dada por

Uma urna contém 11 fichas idênticas, marcadas com os números 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8 e 9. Retiram-se ao acaso duas fichas e denota-se o produto dos números obtidos por P. Em seguida, sem reposição, retira-se ao acaso mais uma ficha e denota-se o número obtido por N.

Seja FGV um triângulo isósceles, desenhado no plano cartesiano de eixos ortogonais, com FG = GV = 5 e FV = 6, vértice F coincidindo com a origem dos eixos, FV contido no eixo x e ângulos internos, em radianos, como mostra a figura 1.

Sendo m e n números reais não nulos, um dos fatores do polinômio P(x) = mx² – nx + m é (3x – 2).

Admita que uma notícia, consultada na internet, tenha vindo com um X no lugar de um gráfico, como indica a imagem a seguir

A soma das duas raízes não reais da equação algébrica x³ + 2x² + 3x + 2 = 0, resolvida em C,

Considere a matriz quadrada A = (a^ij)^2×2, com

A figura indica o triângulo FGV, no plano cartesiano de eixos ortogonais, e as coordenadas dos seus vértices.

Sendo x um número real, o operador X é igual aEsse operador também admite composições como, por exemplo, -1 = 5. De acordo com a definição do operador, o valor de

Ana, Bia, Cléo, Dani, Érica e Fabi se sentam ao redor de uma mesa circular, como se estivessem nos vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência da mesa. A respeito de suas posições, sabe-se que:
• Bia está imediatamente ao lado de Cléo e diametralmente oposta a Ana;
• Dani não está sentada imediatamente ao lado de Ana.

As bandeiras dos cinco países do Mercosul serão hasteadas em dois postes, um verde e um amarelo. As cinco bandeiras devem ser hasteadas e cada poste deve ter pelo menos uma bandeira. Constituem situações diferentes de hasteamento a troca de ordem das bandeiras em um mesmo poste e a troca das cores dos mastros associadas a cada configuração.

Um quadrado de dimensões microscópicas tem área igual a 1,6 × 10^–10 m². Sendo log 2 = m e log 5 = n, a medida do lado desse quadrado, em metro,

A figura indica uma circunferência de equação x² + y² –10x – 10y + 45 = 0, com centro em C e diâmetro PQ, no plano cartesiano de eixos ortogonais. As retas r e s se intersectam no ponto B e tangenciam a circunferência nos pontos P e T. A medida do ângulo PBT é igual a α radianos.

O gráfico da função real f(x) = √1 + mx²

Observe o padrão da sequência de figuras.

Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 dm, foram unidos com sobreposição perfeita de duas das suas faces. P é vértice de um dos cubos, Q é vértice do outro cubo e R é vértice compartilhado por ambos os cubos, conforme indica a figura.

Dado um número real x, o símbolo [x] indica o maior número inteiro que é menor ou igual a x.

Em um plano cartesiano, dois vértices de um triângulo equilátero estão sobre a reta de equação y = 2x – 2. O terceiro vértice desse triângulo está sobre a reta de equação y = 2x + 2.

Admita que cada um dos tons de qualquer uma das três cores primárias seja definido por um número inteiro de 0 a 255. Sobrepondo-se duas cores primárias diferentes, com seus respectivos tons, o resultado sempre será uma cor inédita. Sobrepondo-se uma cor primária a ela mesma, o resultado será uma cor inédita apenas quando a sobreposição for entre cores primárias iguais mas de tons diferentes.

Seja k um número real e um sistema de equações nas incógnitas x e y. Os valores de k para que a solução gráfica desse sistema pertença ao interior do terceiro quadrante do plano cartesiano são dados pelo intervalo

José deseja fazer uma poupança mensal durante 10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em relação ao valor poupado no mês anterior.

Renato comprou um carro por R$ 19.000,00. Meses depois, vendeu o carro para seu primo por R$ 20.000,00. Passados mais alguns meses, Renato recomprou o carro do seu primo por R$ 20.500,00 e, em seguida, o vendeu para outra pessoa por R$ 22.000,00.

A figura indica o retângulo FAME e o losango MERP desenhados, respectivamente, em uma parede e no chão a ela perpendicular. O ângulo mede 120º, ME = 2m e a área do retângulo FAME é igual a 12m².

A figura indica os gráficos de uma reta r e uma senoide s, de equações y = 5/2 e y = 1 + 3 sen (2x), em um plano cartesiano de eixos ortogonais.

No intervalo [0, 2π], a soma de todas as soluções de

Leia o gráfico que apresenta a distribuição do trabalho informal no Brasil, em milhões de trabalhadores, referente ao segundo trimestre de 2019.

Carlos está desempregado já há algum tempo e resolveu estudar a possibilidade de se tornar motorista de aplicativos. Pesquisando as possibilidades, encontrou uma simulação de quanto recebem os motoristas de aplicativos em viagens curtas de 5 quilômetros.

Um morador da cidade de Caracaraí resolveu aplicar R$ 75.000,00 num fundo de renda fixa, numa instituição financeira que opera no seu município.

Sabendo que a aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 6 cm e que a área lateral é o sêxtuplo da área da base, assinale a alternativa que representa o volume dessa pirâmide.

Assinale a alternativa que corresponde a soma dos múltiplos de 5, compreendidos entre 168 e 268.

Amanda resolveu complementar seu orçamento domés - tico como motorista por aplicativo. Como já possui um automóvel inscreveu-se numa plataforma em que o valor cobrado do passageiro por viagem depende basicamente de três fatores:
• o valor fixo de R$ 2,00 cobrado no início de qualquer viagem;
• o valor de R$ 0,26 por minuto de viagem;
• o valor de R$ 1,40 por quilômetro rodado.
Além disso, Amanda sabe que
• a plataforma do aplicativo retém um quarto do valor pago pelo passageiro;
• terá um custo de combustível no valor de R$ 0,28 por quilômetro rodado.
Suponha que ela realizará apenas viagens de 5 km, com duração de 10 minutos cada.

Uma empresa trabalha com fretamento de ônibus para o litoral. O valor cobrado por passageiro, no caso dos 50 lugares disponíveis serem todos ocupados, é de R$ 40,00. No caso de não ocorrer a lotação máxima, cada passageiro deverá pagar R$ 2,00 a mais por assento vazio.

Um tanque de combustível contém 50 litros de uma mistura de gasolina e álcool na razão 2:3, nessa ordem.
Deseja-se acrescentar à mistura N litros de álcool para que a razão de gasolina e álcool, nessa ordem, passe a ser 1:3.

Um aprendiz de feiticeiro, numa experiência inves - tigativa, tem a sua disposição cinco substâncias distintas entre as quais deverá escolher três distintas para fazer uma poção. No entanto, duas dessas cinco substâncias, quando misturadas, anulam qualquer efeito reativo.

Na figura temos um mapa onde se localiza a Praça Tales de Mileto. A prefeitura pretende cobri-la completamente com grama.
Considere retilíneos esses trechos de ruas e avenidas

Admita que a medida do ângulo agudo formado entre a Rua Fibonacci e a Avenida Descartes é igual a 60º, e que a Avenida Bhaskara é paralela à Avenida Descartes.

Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos.

Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado.

Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2⁄3, independentemente do resultado das outras provas.

Sabendo que a é um número real, considere a função f(x) = ax + 2, definida para todo número real x.

Sabendo que a é um número real, considere a equação quadrática 2x² + ax + 10 = 0.

Considere que(a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a

Tendo em vista que a e b são números reais positivos, a ≠ b, considere a função f(x) = ab^x, definida para todo número real x.

Sabendo que ? é um número real, considere a matriz e sua transposta ?^T . Se A + A^T é singular (não invertível), então

A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a

A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que AB = AM = MC. Então, tg θ é igual a

Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ – x² – 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y = f(x), no plano cartesiano, em que os pontos A, B e C têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos A e C é igual a

Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² = 2cx.

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

De acordo com levantamento realizado de janeiro a outubro de 2018, o Brasil apareceu em primeiro lugar como o país em que cada habitante mais recebeu chamadas telefônicas spam, que incluem ligações indesejadas de telemarketing, trotes e golpes. A tabela mostra o número médio de chamadas spam recebidas mensalmente por usuário no Brasil e em outros países.

Para exemplificar a probabilidade, um grupo de estudantes fez uma atividade envolvendo química, conforme o procedimento descrito. Cada estudante recebeu um recipiente contendo 800 mL de água destilada com algumas gotas do indicador de pH alaranjado de metila e soluções de HCl e NaOH em diversas concentrações. Cada estudante deveria jogar apenas uma vez dois dados, um amarelo e um vermelho, ambos contendo os números de 1 a 6.

• Ao jogar o dado vermelho, o estudante deveria adicionar ao recipiente 100 mL de solução do ácido clorídrico na concentração 10−n mol/L,sendo n o número marcado no dado (por exemplo, se saísse o número 1 no dado, a solução seria de 10−1 mol/L; se saísse 6, a solução seria de 10−6 mol/L).
• Ao jogar o dado amarelo, o estudante deveria executar o mesmo procedimento, mas substituindo o ácido por NaOH, totalizando assim 1,0 L de solução.
• O estudante deveria observar a cor da solução ao final do experimento.
A professora mostrou a tabela com alguns valores de pH resultantes conforme os números tirados nos dados. Ela pediu, então, aos estudantes que utilizassem seus conhecimentos e a tabela para prever em quais combinações de dados a cor final do indicador seria vermelha.

Uma cidade tem sua área territorial dividida em quatro regiões. O esquema apresenta, de modo simplificado, a área territorial e a densidade populacional dessas quatro regiões:

O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por exemplo, uma amostra com 18 partes em massa de ouro e 6 partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates. Assim, um objeto de ouro de 18 quilates tem 3/4 de ouro e 1/4 de outro metal em massa.
O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos.
A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de 6 kg. Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado.

Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime.
Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa. As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

(Ana Paula Sebastiany et al. “A utilização da Ciência Forense e da Investigação Criminal como estratégia didática na compreensão de conceitos científicos”. Didáctica de la Química, 2013. Adaptado.)

Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.

Em seu artigo “Sal, saúde e doença”, o médico cancerologista Dráuzio Varella aponta que o Ministério da Saúde recomenda que a ingestão diária de sal não ultrapasse 5 g, quantidade muito abaixo dos 12 g, que é a média que o brasileiro ingere todos os dias. Essa recomendação do Ministério da Saúde é a meta que a Organização Mundial da Saúde estabeleceu para até 2025. Além disso, o ministério estima que, para cada grama de sal reduzido na ingestão diária, o SUS economizaria R$ 3,2 milhões por ano.

Considere os polinômios

João, Sílvia e Pedro são funcionários de uma empresa.
Considere as matrizes:

A = (10 12 8) e , em que:
• a matriz A representa o valor, em reais, recebido por hora trabalhada de João, Sílvia e Pedro, respectiva - mente;
• a matriz B representa a quantidade de horas trabalhadas por semana dos mesmos funcionários, em cada uma das quatro primeiras semanas no mês de julho de 2018;
• na matriz B, as linhas 1 a 3 são para João, Sílvia e Pedro, respectivamente; e as colunas de 1 a 4 são, nessa ordem, para as quatro primeiras semanas do mês de julho, de modo que, por exemplo, o elemento b13 é a quantidade de horas que João trabalhou na terceira semana desse mês.

Uma garrafa térmica tem formato de um cilindro circular reto, fundo plano e diâmetro da base medindo 8,0 cm. Ela está em pé sobre uma mesa e parte do suco em seu interior já foi consumido, sendo que o nível do suco está a 13 cm da base da garrafa, como mostra a figura.

O suco é despejado num copo vazio, também de formato cilíndrico e base plana, cujo diâmetro da base é 4 cm e com altura de 7 cm. O copo fica totalmente cheio de suco, sem desperdício.

Considere que:

• a frequência cardíaca máxima de uma pessoa, em batimentos por minuto (bpm), é a diferença entre uma constante K e a idade da pessoa. O valor de K para um homem é 220 e, para uma mulher, K é 226.
• a frequência cardíaca ideal para queimar gordura e emagrecer durante um treino é de 60% a 75% da frequência cardíaca máxima.

O artesão brasileiro é um agente de produção nas áreas cultural e econômica do país, gerando empregos e contribuindo para a identidade regional. Observe os gráficos e admita distribuição homogênea de dados.

Uma artesã borda, com lã, tapetes com desenhos baseados em figuras geométricas. Ela desenvolve um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão bordados dois triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza e o restante será bordado com lã branca, conforme a figura.